Erstmal kann man lokal nicht unterscheiden zwischen einem beschleunigten System und Gravitation. Darum kann man so rechnen, als ob es sich bei der Gravitationskraft um die Fliehkraft eines rotierenden Systems handelt.
Für einen Punkt auf einer Kreisbahn gilt folgende Geschwindigkeit:
[tex]v = \frac{r\omega}{\sqrt{1+\frac{(r\omega)^2}{c^2}}}[/tex] wobei r der Abstand vom Zentrum ist und [tex]\omega[/tex] die Winkelgeschwindigkeit ist.
Dafür gilt dann diese Zeitdilatation:
[tex]\tau = \frac{t}{\sqrt{1+\frac{(r\omega)^2}{c^2}}}[/tex], für kleine Geschwindigkeiten also etwa:
[tex]\tau = t\left(1 - \frac{(r\omega)^2}{2 c^2}\right)[/tex]
Auf ein Objekt, dass so rotiert, wirkt folgende Fliehkraft:
[tex]F = m \omega^2 r <=> \varphi = -(r\omega)^2/2[/tex]
Diese Fliehkraft kann man auch als Gravitationspotential sehen. Dieser Term tritt auch in der Rechnung für die Zeitdilatation auf, so dass man erhält:
[tex]\tau = t \left(1 + \frac{\varphi}{c^2}\right)[/tex]
Für die Oberfläche der Sonne gilt damit:
[tex]\varphi = gr = -274 \frac{m}{s^2} * 0,6957 * 10^6km = 190,622 \frac{m^2}{s^2}[/tex]
[tex]\tau = t \left(1 - \frac{190,622 \frac{m^2}{s^2}}{c^2}\right)[/tex]
[tex]\tau = t \left(1 - 2,118 * 10^{-6}\right)[/tex]
Das macht pro Tag 0,2 Sekunden aus, die die Zeit auf der Sonne langsamer vergeht, im Vergleich zum gravitationsfreien Raum. Da die Zeitdilatation, die die Erde verursacht, aufgrund der vergleichsweise geringen Größe und Masse relativ gesehen gering ist, entspricht dies auch der Zeitdilatation relativ zur Erde (der Wert ist sowieso gerundet, da macht das nichts mehr aus)
mfg websquid
