Theoretische Physik Freier Fall aus einem niedrigen Orbit

Hallo Liebes Forum,

erst einmal Guten Tag. Im allgemeinen interesiere ich mich sehr für die Raumfahrt und dem was wir mit dem verbinden. Der Hintergrund warum ich mich hier als User regestriert habe, ist ein Problem, welches sich indirekt mit der Raumfahrt beschäftigt.

Es geht darum, dass ich bei einer Fragestellung einen weiteren Ansatz finden muss, welcher sich mir noch nicht ganz erschließt. Stellt euch vor, dass ein Objekt mit geringer Masse in 125 km Höhe über der Erdoberfläche abgeworfen wurde und auf die Erdoberfläche fällt. Zur "Vereinfachung" gibt es keine Reibung.

Ich habe die Geografische Breite, über dass sich mein Objekt zu Zeitpunkt Null befunden hat. Nun rauscht es der Erde entgegen und ich versuche den Einschlagsort zu ermitteln. Bei meinem ersten Lösungsansatz kam ich auf eine plausible Ostverschiebung des möglichen Einschlagsortes.

Diese Lösung scheint aber nicht richtig, weil ich es so berechnet hatte, als würde die Kugel von einem entsprechend hohen Turm herunter fallen.

Was fehlt mir in meinen Gleichungen?  Spielt die Geschwindigkeit des Objektes zum Zeitpunkt Null eine Rolle? Welche Kräft beeinflussen die Kugel weiterhin?


Ich wäre für einige hilfreich Gedanken sehr dankbar.

Gunnar

Hallo Sonnenmilch,

bevor wir das beantworten können, musst du die Randbedingungen und Annahmen deines Problems genauer formulieren:
- Was soll "keine Reibung" heißen? Hat die Atmosphäre eine Wirkung auf das Objekt, also Strömungswiderstand? Oder fallen wir im Vakuum?
- Wie ist die Anfangsbewegung des Objekts? Ruht es oder bewegt es sich (und in welche Richtung und mit welcher Geschwindigkeit)? Gegenüber dem Erdmittelpunkt oder gegenüber der Erdoberfläche?

Hallo Daniel,

ich versuche die Randbedingungen genauer zu beschreiben:

Die Dichte der Atmossphäre ist gleich Null, also Vakuum. Die Kugel ist von einem , fest halten, Raumschiff abgefallen, welches genau über einem bestimmten Punkt P der Erdoberfläche schwebte. (Erdmittelpunkt- Punkt P auf der Erdoberfläche (X;Y)- Raumschiff im Lot)

Die Anfangsgeschwindigkeit relativ zu Schiff ist gleich Null. Nun rast das Teil aus 125 km Höhe in Richtung Erdmittelpunkt.

Mehr Rahmenbedingungen gibt es nicht.

Viele Grüsse

Sonnenmilch

Das hört sich nach der Idee für eine Geschichte an ...

Was die Sache jetzt kompliziert macht: Dein Raumschiff schwebt "irgendwie" über einem Punkt der Erdoberfläche, wahrscheinlich nicht am Äquator. Damit ist das Raumschiff in keinem Orbit. Es bewegt sich noch nicht mal um den Schwerpunkt der Erde (wenn es nicht gerade über dem Äquator steht). Diese Anfangsbewegung überträgt sich auf das fallende Objekt, das von da an zusätzlich in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt wird.

Falls ich die Randbedingungen richtig verstanden habe ... das wird nicht einfach. Da gibt es jetzt nicht "die einfache" Lösung ...

Aus diesem Grund bin ich hier, um einen neuen Blick auf dieses Problem zu erhalten. Unser Raumschiff senktrecht über Potsdam, also 52 Grad Nord.

Aufgrund der Höhe über dem Grund hat meine Kugel eine höhere Horizontalgeschwindigkeit als eine Vergleichbare direkt am Boden. Aus dem Grund habe ich eine Verschiebung des Aufschlagortes nach Osten. Gibt es etwas was die Horizontalgeschwindigkeit noch beeinflusst? Wirkt die Orbitalgeschwindigkeit der Kugel irgendwie mit rein? Warum habe ich eine Massenangabe der Kugel?

Sonnenmilch

Hi Gunnar,

ich denke, du musst berücksichtigen, dass die über Potsdam festgehaltene Kugel und auch Potsdam sich nicht um den Erdmittelpunkt drehen, sondern um den jeweils senkrecht  auf die Erdachse projizierten Punkt. Das sind zwei verschiedene Punkte. Das führt dann dazu, dass es nicht nur zu einer östlichen, sondern auch zu einer südlichen Abweichung kommen muss. Klarer wird das Bild, wenn man sich die Situation ganz nahe am Nordpol vor Augen führt.
Vielleicht hilft das ja beim Weiterrechnen.

Gruss
Edgar

Hallo Edgar,

erschließt sich mir noch nicht ganz. Für den Fall das die Erde nicht rotieren würde, müsste doch die Kugel, welche vom Turm fällt, dank der Gravitation exakt ins Lot einschlagen. Da mein Beobachtungspunkt genau den Lotpunkt darstellt, wäre die Aufgabe gelöst. (Der Turm ähnelt in meiner Vorstellung einem Sprungturm!)

Sie bewegt sich beschleunigt auf der Geraden Mittelpunkt - Potsdam - Startpunkt

Nun dreht sich unser System in Richtung Ost alles was fällt, muss doch nur in dieser Rotationsrichtung seine Verschiebung finden. Werf ich was hoch weiter westlicher und lass ich was fallen in Richtung Ost. Die Frage ob hier die Corioliskraft eine Ablenkung in Nord Süd bewirkt, weis ich noch nicht.

Ich denke soweit bin ich schon, mir fehlt halt nur der Zusammenhang zum Raumschiff. Was passiert den wenn ein geostationärer Satellit abstürzt und wir die Atmosphäre rausrechnen?

Liebe Grüsse

Gunnar

Wenn die Kugel in 125 km Höhe über Potsdam schwebt, dann hat sie eine Anfangsgeschwindigkeit die 2*pi*v_{rot_Erde}*125 km ist. Sobald ein Objekt in einem Schwerefeld eine anfangsgeschwindigkeit hat, bewegt es sich nicht mehr auf das lot zu, sondern auf hyperbolischen, parabelförmigen oder elliptischen bahnen. Wie genau die Bahn in deinem Fall aussieht müsste man rausbekommen, da weiß ich aber nicht wie.
Durch diesen Geschwindigkeitsvektor zum Anfangszeitpunkt wird sich die Flugbahn in einer Ebene durch den Erdmittelpunkt befinden. Da Potsdam nicht auf dem Äquatorliegt wird deine Kugel entsprechend auch nach süden abgelenkt. Ich denke was du suchst ist die Bodenspur dieser Flugbahn.

EDIT: Für die Flugbahn könnte man die Vis-Viva-Gleichung heranziehen. https://de.wikipedia.org/wiki/Vis-Viva-Gleichung

Wie helbo und DF2MZ schon angeleitet haben: Sobald die Kugel vom Turm losgelassen wird, bewegt sich sich auf einer geneigten Bahn "um den Schwerpunkt" der Erde. Kleiner Tipp: die Inklination dieser Bahn ist gleich der geographischen Breite des Startorts, offenbar 52°.

Mit vis-viva bekommen wir die große Halbachse der Bahn raus.

Mir fällt gerade auf, dass ich bei der anfangsgeschwindigkeit einen fehler gemacht habe.
Sie berechnet sich aus 2*pi*winkelgeschwindigkeit*abstand der kugel zur rotationsachse der erde.

Dieser abstand beträgt nicht wie von mir geschrieben 125 km sondern berechnet sich mit ein wenig trigonometrie aus dem erdradius, der geografischen breite und den 125 km.

[...]

Ich denke soweit bin ich schon, mir fehlt halt nur der Zusammenhang zum Raumschiff. Was passiert den wenn ein geostationärer Satellit abstürzt und wir die Atmosphäre rausrechnen?

[...]

Das ist eigentlich simpel, zumindest für die ersten paar Wochen oder Monate. Er zieht weiter seine Bahn, bis dann aufgrund fehlender Steuermanöver - "abstürzen" impliziert ja "außer Kontrolle" - die Einflüsse von Sonne, Mond und Schwerkraftanomalien der Erde die ersten Abweichungen von der idealen Bahn auftauchen. Der Satellit wird also nicht mehr eine nahezu punktförmige Bodenspur ziehen, sondern eher eine Strecke jeweils von Norden nach Süden und wieder zurück abfliegen, aber immer noch etwa am Äquator. Später müsste die Bodenspur sogar zu einer echten "Acht" mutieren. Auf dem Erdboden aufschlagen würde er vermutlich nie oder erst in zigtausend Jahren.

Du hast bestimmt schon einmal gehört, dass sich die Satelliten "im freien Fall" befinden. Das ist absolut ernstgemeint - sie fallen die ganze Zeit, nur eben immer an der Erde vorbei.

Ich denke soweit bin ich schon, mir fehlt halt nur der Zusammenhang zum Raumschiff. Was passiert den wenn ein geostationärer Satellit abstürzt und wir die Atmosphäre rausrechnen?

solltest dir erst mal Grundlagen zur Bahnmechanik anschauen, denn ein geostationärer Satellit wird sicherlich nicht in 125 km Höhe positioniert sein, wie in deinem anfänglichen Post.

Das sind beides unrealistische Ausschlüsse.
Wie kann man sich nur den wichtigen Einfluss der Atmosphäre wegdenken?
In einer Höhe von 125 km kann nichts stillstehen - auch kein Raumschiff.

Welchen Zweck soll denn das seltsame Gedanken-Experiment haben?

Es ist etwa so, als sollten wir uns vorstellen, ein Formel-1 Rennen zu fahren
- nur ohne Straßen
- und das Auto denken wir uns auch mal weg!

Unrealistische Annahmen werden zu unrealistischen Ergebnissen führen.

Könnte eine Rechenaufgabe sein ...

Mich erinnert das übrigens an ein Kapitel aus "Begegnung mit Tiber" von John Barnes und Buzz Aldrin. Das nisuanische Raumschiff Egalitäre Republik erreicht die Erde und bezieht Position über dem Mittelmeer, in einigen hundert Kilometern Höhe. Um nicht abzustürzen, muss natürlich das Haupttriebwerk Richtung Erdboden feuern (und verdampft dabei so viel Meerwasser, dass die entstehenden Regenfälle als Basis für alle Sintflutgeschichten dienen können). Die Shuttles haben damit einen viel niedrigeren Geschwindigkeitsunterschied zu überwinden auf ihren Flügen zwischen Mutterschiff und Erdboden. Aus diesem Grund verbietet der politische Kommissar es auch dem Kommandanten, dem Vorschlag einer Ingenieurin zu folgen. Dieser sah so aus, in einen normalen Orbit einzuschwenken und das Triebwerk zu Wartungszwecken abzuschalten.

Natürlich versagt das Triebwerk, und natürlich stürzt das Raumschiff ab. Zu einem Aufschlag kommt es allerdings nicht, weil das Triebwerk von selbst wieder anspringt und wegen der durch die Reaktion mit der Atmosphäre weggebrannten Reduktionsblechen mit voller Kraft feuert, was letztlich zur Zerstörung des Schiffes führt (und zu wirklich schlechtem Wetter auf der Erde).

Soviel zum Beitrag der Science Fiction zu diesem Thema.

Das sind beides unrealistische Ausschlüsse.
Wie kann man sich nur den wichtigen Einfluss der Atmosphäre wegdenken?
In einer Höhe von 125 km kann nichts stillstehen - auch kein Raumschiff.

Welchen Zweck soll denn das seltsame Gedanken-Experiment haben?

Ist es eine abstrakte Mathematikaufgabe, sind solche Annahmen zulässig.
Das Objekt könnte sich über einem beliebigen punkt der nördlichen Hemisphäre eines Himmelskörpers ohne Athmosphäre befinden.

Auch kann man eine Ausgangsposition annehmen die permanent in konstanter Höhe über diesem Punkt liegt, man muss es nur korrekt machen.

Das Objekt hat nämlich nicht nur eine konstante Anfangsgeschwindigkeit es wirkt auch eine permanente Kraft auf das Objekt. Diese Kraft wirkt nicht nur der Gravitation des Himmelskörpers entgegen, sie lenkt das Objekt auch permanent von seiner Bahn ab.
(Den Angrifswinkel dieser Kraft herauszubekommen ist nicht trivial, da er sich permanent ändert und erst nach einer Umkreisung der Rotationsachse des Himmelskörpers wieder den selben Vektor einnimmt)

Das "Loslassen" des Objekts bedeutet ja das Wegfallen dieser Kraft. Das Objekt wird also nun nicht nur von der Gravitation angezogen, die Flugbahn verändert sich auch so, dass sie um den Schwerpunkt des Himmelskörpers kreist.
Da sich  der angenommene Ort in der nördliche Hemisphäre befindet und nach Westen rotiert, muss sich der Aufschlagsort des Objekts zwangsweise nicht nur östlich sondern auch südlich vom Ausgangspunkt befinden.

Mir raucht auch ein kleines bisschen der Kopf , wenn ich also einen Gedankenfehler gemacht habe gleich drauf hin weisen.
Gruß,
Raziel

Wir rotieren nach Osten, Raziel .

Ich Idiot,
seh den Kompass vor lauter Vektoren nicht mehr.

Ich glaub das mit dem sich verändernden Kraftvektor ist auch falsch... der müsste immer tendenziell nach Norden zeigen.
(So sinnlos dieses Gedankenexperiment ist...irgentwie machts spaß)

Was du gesagt hast: dass sie nach Osten und Süden fällt, ist trotzdem richtig.

Die Kraft, die das Objekt zuerst auf seine Zwangsbahn "über Potsdam" zwingt, ist beim Loslassen ja nicht mehr wirksam. Mit der dann gültigen Anfangsgeschwindigkeit beginnt das Objekt einen Orbit um die Erde in seiner schrägen Bahnebene.

Hallo,

kann es denn sein, dass das Raumschiff nur zu dem zu dem Zeitpunkt des Loslassens der Kugel exakt die senkrechte Position über dem Punkt der Erde hatte? Die Aufgabe könnte diesen Schluss zulassen: " .. Raumschiff,  dass exakt in seiner Position und Höhe stillzustehen scheint. Ihr greift euch an den Kopf und schaut noch mal hin!"

Dann müsste ich dem Ansatz von Daniel in Hinblick auf die Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit relativ zur Erde berücksichtigen und die Bahn mit den gegeben Parametern bis zum Aufschlag berechnen.

mmm nur wie macht man das?

Liebe Grüße

Gunnar

Wenn das Raumschiff über Potsdam in 125 km exakt still zustehen erscheint, dann muss es permanent mit einem Antrieb dagegen Arbeiten. Aber ok, das ist nun mal der Ausgangspunkt.

Du gehst wie folgt vor:

1. bestimme den Radius des Raumschiffes von der Rotationsachse. Dazu benötigst du den Erdradius, die geograf. Breite sowie die Höhe des Raumschiffes über der Erde

2. bestimme die Anfangsgeschwindigkeit des Raumschiffes/ der Kugel bezogen auf ein festes(nicht mit rotierendes) geozentrisches Koordinatensystem. Dazu benötigst du den oben bestimmten Radius und die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation

3. bestimme mit der Vis-Viva-Gleichung die große Halbachse der Bahn. Dazu benötigst du den Radius des Ausgangspunktes (Erdradius+125km) und die Masse der Erde, sowie die Gravitationskonstante

4. berechne die 6 Eulerparameter der Bahn. Die ersten 2 hast du schon(Die Inklination der Bahn ist gleich der geografischen Breite, die große Halbachse hast du vorher berechnet. Wenn du die 6 Eulerparameter hast, kannst du zu jedem Zeitpunkt bestimmen wo sich die Kugel befindet. Die Formeln, die du benötigst hab ich nicht im Kopf, werden aber sicher im www zu finden sein.

5. Am Schluss rechnest du dir mit einer Koordinatentransformation zwischen geozentrischen und geodätischen Koordinatensystem die Bodenspur aus. Bei dieser Transformation fließt die Rotation der Erde mit ein, da das geodätische System sich mitdreht. Dann hast du zu jedem Zeitpunkt die Position der Kugel über der Erdoberfläche.

6. Als letztes suchst du dir den Zeitpunkt raus, wo der Radius der Kugelbahn dem Erdradius entspricht (Aufschlag auf der Oberfläche). Nun guckst du nur noch welcher Punkt der Bodenspur diesem Zeitpunkt entspricht. Nun hast du also die geografischen Koordinaten und den Zeitpunkt des Aufschlagens nach dem Loslassen der Kugel .

Hallo Helbo,

klingt verdammt cool. Ich danke dir und versuche mein Bestes nach Deinem Lösungsansatz die Einschlagsstelle zu berechnen.

Liebe Grüße

Gunar

Bitte, klein Problem 

Allerdings musst du bei einer derart genauen Bahnberechnung neben der Form der Erde (Abweichung des geodätischen Ellipsoids ggü. einer idealen Kugel) auch den Einfluss der Schwereanomalien berücksichtigen, die durch unterschiedliches Material hpts. der Erdkruste entstehen. Nicht einfach das.

Robert

Oh je, dass wird verdammt hart.