Hallo Kelvin,
warum taucht kein Volumen in den Gleichungen mehr explizit auf?
kurz:
Weil das eine Bewegungsgleichung (Beschleunigung) ist, und keine Kraftgleichung. Da teilt man alles durch die (träge) Masse des bewegten Körpers. Da in seiner Masse seine Dichte und sein Volumen stecken, kürzt sich dann das Volumen explizit raus und die Dichten bleiben stehen.
lang:
Bewegungsgleichung des auftreibenden Tanks, mit A=Auftrieb, G=Gewichtskraft, W=Strömungswiderstand
m*a = A - G - W
durch m geteilt:
a = 1/m * [A - G - W]
mit V=Volumen des kleinen Tanks, g=lokale Fallbeschleunigung, rho=Dichten:
a = 1/(rhoHe*V) * [g*rhoLOX*V - g*rhoHe*V - W]
da kürzt sich jetzt das V raus:
a = g*rhoLOX/rhoHe- g - W/(rhoHe*V) = [rhoLOX/rhoHe - 1]*g - W/(rhoHe*V)
Der Strömungswiderstand W ist:
W = 1/2 * [rhoLOX*cw*As*v2]
Das Volumen V (im rechten Widerstandsterm steht es ja noch) der Kugel ist:
V = 4/3 * pi * r3
Die Stirnfläche As der Kugel im Widerstandsterm ist (beim Widerstand nimmt man normalerweise die Stirnfläche, also hier eine Kreisfläche, nicht die gesamte Oberfläche der Kugel):
As = pi * r2
Zusammen gibt das für den Widerstandsterm:
W/(rhoHe*V) = 3/8 * [rhoLOX*cw] / [rhoHe*r] * v2
Setzt man alles zusammen zur Bewegungsgleichung, erhält man:
a = [rhoLOX/rhoHe - 1]*g - 3/8 * [rhoLOX*cw] / [rhoHe*r] * v2
als Differentialgleichung geschrieben:
d2x/dt2 = [rhoLOX/rhoHe - 1]*g - 3/8 * [rhoLOX*cw] / [rhoHe*r] * (dx/dt)2
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